Curso 1:
Técnicas numéricas para el estudio de sistemas dinámicos

Arturo Vieiro
Universitat de Barcelona
vieiro@ub.edu

En este curso se propone explicar algunas de las técnicas numéricas básicas para el estudio de sistemas dinámicos.

Se considerarán sistemas dinámicos deterministas y finito-dimensionales, para los que se cubrirán aspectos de sistemas dinámicos continuos, cuya ley de evolución viene dada por una ecuación diferencial ordinaria, y discretos, cuya ley de evolución viene dada por la iteración de una aplicación discreta (en muchos casos, un difeomorfismo de Rn ). Se considerarán principalmente ejemplos de sistemas analı́ticos.

El objetivo del curso es explicar diversos métodos y técnicas numéricas para el estudio de sistemas concretos e ilustrar la metodologı́a en ejemplos concretos. Ası́ se considerarán ejemplos de sistemas conservativos (por ejemplo, dados por aplicaciones preservando área, aplicaciones preservando volumen, sistemas Hamiltonianos con 2 o 3 grados de libertad, autónomos y/o no autónomos, por ejemplo, sometidos a un forzamiento periódico, etc.), y también se considerarán aplicaciones disipativas en los que haya riqueza dinámica dada por la existencia/coexistencia de atractores de diversos tipos (por ejemplo, perturbaciones débilmente disipativas de aplicaciones preservando área o sistemas disipativos clásicos como la aplicación de Hénon o el sistema de Lorenz).

Son varios los aspectos que motivan un curso de este tipo. Por un lado, en multitud de aplicaciones a campos de ingenierı́a, fı́sica, química, biología, etc., donde se pretenda usar la teorı́a cualitativa de sistemas dinámicos para describir la evolución del sistema dependiendo de parámetros relevantes fácilmente comporta trabajar con ecuaciones que tı́picamente no son tratables con métodos analíticos. Por otro lado, los métodos analíticos frecuentemente proporcionan un conocimiento profundo que pueden ser comprobados con cálculos numéricos. Por último, frecuentemente cálculos numéricos específicos pueden llevar al lı́mite la teorı́a existente (si hay teorı́a que permita considerar el problema considerado) e indicar posibles conjeturas que permiten posteriormente un avance matemático analı́tico sólido. Uno de los objetivos de los ejemplos que se considerarán es ilustrar esa interacción entre el estudio numérico y el estudio teórico de un problema.

Cabe también destacar que muchos aspectos dinámicos de interés en aplicaciones reales únicamente se pueden abordar con técnicas numéricas. Por ejemplo, cuestiones relacionadas con la abundancia de caos en regiones del espacio de fase, propiedades de transporte, etc., requieren de exploraciones numéricas masivas.

Duración del curso: Se prentende impartir un curso de aproximadamente 10h en total en las que se incluye las diversas sesiones y la evaluación del curso (aproximadamente 8h y 2h respectivamente).

Temario: El temario (tentativo) del curso pretende cubrir los siguientes temas:

1. Integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinárias, método de Taylor, secciones de Poincaré, ecuaciones variacionales y transporte de “jets”.
2. Objetos invariantes: puntos fijos, órbitas periódicas, etc. Métodos de continuación, bifurcaciones.
3. Indicadores de la dinámica: exponentes de Lyapunov, número de rotación.
4. Cálculo de variedades invariantes, escisión de separatrices. Ejemplos de aplicaciones discretas y sistemas Hamiltonianos.
5. Ejemplos de simulaciones “masivas” en sistemas dinámicos: perturbaciones disipativas de sistemas conservativos, problemas de difusión de Arnold, etc.

La versatilidad de los métodos numéricos que se explicarán permiten afrontar una gran variedad de problemas en sistemas dinámicos. En particular, en la medida de lo posible, se intentará adaptar los ejemplos a contextos concretos que se consideren en otros cursos de la escuela EMALCA.

Evaluación: Se pretende evaluar el conocimiento adquirido por los estudiantes a través de la implementación (en algún lenguaje de bajo nivel tipo C, Fortran, etc.) de algunas de la técnicas explicadas en algún ejemplo concreto.

Referencias: Algunas referencias básicas donde se consideran algunas de estas técnicas numéricas incluyen:

1. C. Simó. On the analytical and numerical approximation of invariant manifolds. Les Méthodes Modernes de la Mécanique Céleste. Modern Methods in Celestial Mechanics 1, 285–329, 1990.
2. A. Jorba and M. Zou. A software package for the numerical integration of ODEs by means of high-order Taylor methods, Experiment. Math., 14(1), 99–117, 2005.
3. E. Algower and K. Georg. Numerical Continuation Methods. Springer Series in Computational Mathematics 13. Springer-Verlag, Berlin. 1990.

Los ejemplos para ilustrar las técnicas numéricas se extraeran de diversas referencias del autor. A continuación se citan algunas referencias donde se cubren distintos tipos de sistemas y contextos:

1. A. Murillo and A. Vieiro. Periodic perturbation of a 3D conservative flow with a heteroclinic connection to saddle-foci. Preprint, 2024.
2. E. Fontich, C. Simó and A. Vieiro. Splitting of the separatrices after a HamiltonianHopf bifurcation under periodic forcingn Nonlinearity 32(4), 1440–1493, 2019.
3. J.D. Meiss, N. Miguel, C. Simó and A. Vieiro. Accelerator modes and anomalous diffusion in 3D volume-preserving maps Nonlinearity 31(12), 5615–5642, 2018.
4. V. Gelfreich and A. Vieiro. Interpolating vector fields for near identity maps and averaging Nonlinearity 31(9), 4263–4289, 2018.
5. N. Miguel, C. Simó and A. Vieiro. From the H’enon conservative map to the Chirikov standard map for large parameter values. Regular and Chaotic Dynamics 18(5): 469–489, 2013.
6. M. Gonchenko, S. Gonchenko, I. Ovsyannikov and A. Vieiro. On local and global aspects of the 1:4 resonance in the conservative cubic H’enon maps Chaos 28(4), 1–15, 2018.
7. S. Gonchenko, C. Simó and A. Vieiro. Richness of dynamics and global bifurcations in systems with a homoclinic figure-eight. Nonlinearity 26(3): 621–679,2013.
8. C. Simó and A. Vieiro. Some remarks on the abundance of stable periodic orbits inside homoclinic lobes. Physica D, 240(24): 1936–1953, 2011.
9. E.M. Alessi, A. Farrés, A. Jorba, C. Simó and A. Vieiro. Jet transport and applications to NEO’s. Proceedings of 1st IAA Planetary Defense Conference. ESA Conference Bureau, Granada (Spain), 2009.
10. C. Simó and A. Vieiro. Resonant zones, inner and outer splittings in genericand low order resonances of area preserving maps. Nonlinearity 22(5):1191–1246,2009.